RESUMO

Uma geometria no sentido de Klein é um conjunto X munido de um grupo de transformações G que age transitivamente sobre X. Neste projeto temos como objetivo o estudo das geometrias de Klein através de exemplos e aplicações sob uma perspectiva atual que, em particular, nos permite estabelecer uma conexão com a pesquisa que vem sendo desenvolvida na área. A primeira referência estudada foi o livro ‘Geometry' de David A. Brannan, Matthew F. Esplen e Jeremy J. Gray. Dentre as geometrias que estudamos, destacamos as geometrias inversiva e projetiva. A geometria inversiva (plana) é caracterizada por um conjunto denominado plano complexo estendido junto com o grupo das transformações de Möbius. Similarmente, a geometria projetiva (plana) é caracterizada pelo plano projetivo, que consiste em acrescentar ao plano euclidiano um conjunto de pontos no infinito, a cada um correspondendo uma coleção de retas paralelas, e estes pontos incidentes sobre uma mesma reta denominada reta no infinito. O grupo projetivo é então definido pelo quociente do grupo GL(2, R) por seu centro. Procuramos ainda generalizar a ideia de congruência para ilustrar o conceito de invariantes de ações de grupos e como eles são encontrados. Por exemplo, na geometria inversiva define-se o conceito de circunferência generalizada e, dadas duas circunferências generalizadas, sempre é possível aplicar uma sobre a outra por uma transformação inversiva. Assim, surge naturalmente o problema de classificar as famílias de conjuntos de circunferências generalizadas que são equivalentes na geometria inversiva. Em nosso estudo distinguimos um caso especial deste problema e apontamos uma solução parametrizada pelo problema de Apolônio. Esta é a primeira aplicação. Como segunda aplicação, apresentamos a razão cruzada, um invariante da geometria projetiva, como uma ferramenta a ser empregada em técnicas de correção no processamento de imagens oriundas de levantamentos aerofotogramétricos. Finalmente, estudamos os processos de limite e osculação de curvas a fim de obter invariantes diferenciais a partir de invariantes finitos mais elementares, especificamente, nos interessa como a razão cruzada pode ser utilizada na interpretação deste problema restrito a curvas na reta projetiva. Para tal seguimos o artigo ‘The Schwarzian as a Curvature ', publicado no Journal of Differential Geometry, volume 4, número 4 (1970), 515-519, de Harley Flanders. Com o estudo deste artigo começamos a estudar o que se conhece na literatura por geometria de Cartan-Klein.

Palavras-chave: Geometrias de Cartan-Klein, Geometria Inversiva, Geometria Projetiva