RESUMO

A Mitologia Clássica relata que certa vez a filha do rei Tiro, a princesa Dido (Elisa), fugindo da guerra refugiou-se na Costa do Mediterrâneo, norte da África. Lá, lhe foi proposto que ganharia o terreno que conseguisse cobrir com um pedaço de couro de boi. Dido então cortou o couro em finíssimas tiras, com o qual cercou uma imensa área de forma circular onde nasceu o núcleo da cidade de Birso, sendo Dido sua rainha. Cidade que prosperou e mais tarde se tornaria a famosa Cartago. Um dos fatores que contribuíram para o sucesso de tal lenda, foi a forma usada de um círculo, que naturalmente e intuitivamente é a forma plana que apresenta a maior razão área por perímetro, fato já conhecido desde a Grécia antiga, mas de difícil demonstração. A justificativa para esta afirmação foi obtida apenas em 1870 por Karl Weiertrass usando cálculo variacional. Matematicamente, esse lendário problema se resume naquilo que se conhece por "desigualdade isoperimétrica", que pode ser enunciada da seguinte forma: "Dada uma curva fechada simples com um perímetro fixo, qual é forma geométrica que engloba maior área?". Seguindo o trabalho de Adolf Hurwitz, pode-se responder tal questão usando séries de Fourier, isto é, séries periódicas de senos e cossenos. O método de trabalho envolve aproximar a curva dada por uma curva (seccionalmente) diferenciável; esta última tem suas funções coordenadas dadas como séries de senos e cossenos.Via cálculo diferencial, pode-se calcular diretamente o perímetro da curva e e a área englobada pela mesma. A identidade de Parseval entra de forma decisiva na demonstração da desigualdade isoperimétrica, a qual será estrita, exceto quando o traço da curva é um círculo. O trabalho tem como objetivo mostrar, conforme disponibilidade de tempo, esta e outras aplicações de séries de Fourier.

Palavras-chave: Séries de Fourier, Desigualdade Isoperimétrica, Identidade de Parseval