RESUMO

A história da integração é muito mais antiga do que muitas vezes pensamos. Existem métodos de cálculo de área datados da Grécia Antiga, como por exemplo, os métodos de Eudoxo e Arquimedes. Este último inclusive, em um dos resultados mais espetaculares já obtidos na história da matemática, demonstrou que a área de uma parábola circunscrita a um triângulo tem 4/3 da área deste. A integração de forma semelhante à que conhecemos hoje surgiu com Leibniz e Newton, no século XVII. Suas aplicações se tornaram muito maiores do que apenas o cálculo de quadraturas, mas mesmo assim ainda não havia sido introduzida uma definição rigorosa do processo. Os primeiros passos foram dados por Cauchy, já no século XVIII, que provou que toda função contínua era integrável. Mas a teoria completa só surgiu com Bernhard Riemann, por volta de 1850. Uma de suas principais consequências é que o fato de a função ser integrável está relacionado com o conjunto de pontos onde a função é descontínua.No começo do século XX, o matemático francês Henri Lebesgue começou a visualizar uma forma diferente de integração. A ideia era generalizar a de Riemann, de forma que a continuidade da função não fosse mais relevante, o conjunto do domínio onde a função é definida não fosse necessariamente um intervalo, mas todos os resultados conseguidos por Riemann fossem preservados. Para isso, foram introduzidos novos conceitos como: medida de um conjunto, conjuntos mensuráveis e funções mensuráveis. Neste trabalho, mostraremos as definições e os teoremas utilizados para a construção da integral de Lebesgue. Provaremos que generalizações sobre processos de limite em sequências de funções também são obtidas, e que o objetivo de generalização da integral de Riemann foi alcançado apenas nos casos em se trabalha com intervalos limitados.

Palavras-chave: Integral de Lebesgue, Integral de Riemann, Teoria da Medida