RESUMO

O objetivo desse trabalho é mostrar a solução de um problema da VIII olimpíada da Matemática de 1947 em Moscou, e também as relações entre os números do triângulo de Pascal, coeficientes binomiais e análise combinatória. O problema é: sejam 2^1000 homens reunidos em um ponto A, os quais se dividem pela metade, e cada metade vai para direção l e para direção m, respectivamente. A cada cruzamento essas metades se dividem novamente ao meio, e vão para as direções l e m, e assim sucessivamente. Quantos homens ocuparam cada lugar da milésima linha? De início temos como é definido o problema da olimpíada, e vemos se esse tal problema possui solução, para depois mostramos como é definido e construído o triângulo de Pascal, junto com propriedades e ilustrações, método de construção e simetrias. Após isso damos início a resolução do problema, definindo cada posição em relação à respectiva linha do triângulo de Pascal, e comparamos a relação existente com o número de homens em cada cruzamento. Depois definimos os coeficientes binominais, denotamos cada coeficiente que acompanha cada potencia, de acordo com sua potência e posição, e com isso vimos que os coeficientes binomiais e os números das linhas do triângulo de pascal são os mesmos. Concluímos que podemos escrever os coeficientes binomiais como coeficientes do triângulo de Pascal. Logo após, definimos o que é um conjunto, o que é um subconjunto, e calculamos o número de subconjuntos de um conjunto dado, usando como base definições de análise combinatória, para com isso definirmos todas as possíveis quantidades de subconjuntos de p elementos de um dado conjunto de n elementos. Mostramos propriedades de combinatória, e assim concluímos que os números de quantidades citadas acima são os mesmos números da n-ésima linha do triângulo de Pascal. Por fim definimos fatoriais, a idéia de fatorial, propriedades e construções, e mostramos que a quantidade de subconjuntos de um certo conjunto pode ser escrita em termos de fatoriais, para também concluirmos que o número de homens de cada posição do milésimo cruzamento, os números da milésima linha do triângulo de Pascal e todas as combinações simples feitas com 1000 objetos, são todos representados pelo mesmo número. Com isso podemos calcular facilmente quantos homens ocupam cada posição, para finalmente resolvermos o problema proposto.

Palavras-chave: Triângulo de Pascal, Binômio de Newton, Analise Combinatória